Vector Dot,Cross
Vector Dot,Cross
벡터의 내적
- 정리
- 성질
- 자기자신과의 내적 :
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{a} = |a|^{2}}\)
- 교환법칙 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}}\)
- 분배법칙 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}}\)
- 스칼라 곱셈 (c는 실수) : \(\textcolor{Black}{(c\vec{a}) \cdot \vec{b} = c(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (c\vec{b})}\)
- 영벡터와의 내적 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{0} = 0}\)
- 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)가 이루는 각의 크기를 \(\textcolor{Black}{\theta}\)라고 하면
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| |b| cos\theta}\)
- 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)가 이루는 각의 크기를 \(\textcolor{Black}{\theta}\)라고 하면
\(\textcolor{Black}{cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| |b|}}\)
- 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)가 수직일 필요충분조건은
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}\)
- 영벡터가 아닌 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)에 대하여 \(\textcolor{Black}{\vec{b}}\)를 \(\textcolor{Black}{\vec{a}}\)에 정사영시킨 벡터는
\(\textcolor{Black}{proj_{\vec{a}}{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a|^2} \vec{a}}\)
- 3차원일 때 벡터가 다음과 같다면, \(\textcolor{Black}{\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)}\)
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}\)
- 2차원일 때 벡터가 다음과 같다면, \(\textcolor{Black}{\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)}\)
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2}\)
- 활용
- 두 벡터가 이루는 각도 계산
\(\textcolor{Black}{\theta = cos^{-1}\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| |b|}}\)
- 두 벡터가 이루는 각도가 예각인지 둔각인지 판별
- 예각 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} > 0}\)
- 둔각 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} < 0}\)
- 직각 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}\)
- 어떤 물체가 바라보는 방향의 앞에 있는지 뒤에 있는지
- 길이 계산(자신을 내적하고 제곱근을 구함)
- 투영(정사영)을 구하는데 사용. (선과 점의 가장 가까운 거리)
벡터의 외적
- 정리
- 성질
- 자기자신과의 외적 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{a} = 0}\)
- 교환법칙 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}}\)
- 스칼라 곱셈 (c는 실수) : \(\textcolor{Black}{(c\vec{a}) \times \vec{b} = c(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (c\vec{b})}\)
- 분배법칙1 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}}\)
- 분배법칙2 : \(\textcolor{Black}{(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}}\)
- 스칼라 삼중곱 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}}\)
- 벡터 삼중곱 : \(\textcolor{Black}{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}}\)
- 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a}=<a_1,a_2,a_3>,\vec{b}=<b_1,b_2,b_3>}\)의 외적은
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}}\)
- \(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b}}\)는 두 벡터
\(\textcolor{Black}{\vec{a}, \vec{b}}\)와 동시에 수직이다.
- 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a}, \vec{b}}\)의 외적
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b}}\)의 방향은 자기장의 방향이
\(\textcolor{Black}{\vec{a}}\)에서 \(\textcolor{Black}{\vec{b}}\)쪽으로 가는 시계 방향일때 앙페르의 오른나사의 법칙에서 전류의 방향과 같다.
- 두 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)가 이루는 각의 크기를
\(\textcolor{Black}{\theta}\)라고 하면
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b} = |a| |b| sin\theta}\)
- 사잇각의 크기가 \(\textcolor{Black}{\theta}\)인 두 벡터
\(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b}}\)로 이루어진 평행사변형의 넓이는
\(\textcolor{Black}{A=|a| |b| sin\theta =|\vec{a} \times \vec{b}|}\)
이고 삼각형의 넓이는
\(\textcolor{Black}{A=\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{2}}\)
- 세 벡터
\(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b},\vec{c}}\)로 이루어진 평행육면체의 부피는
\(\textcolor{Black}{V=|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|}\)이고 이것은 스칼라 삼중곱의 크기와 같다.
- 영벡터가 아닌 세 벡터 \(\textcolor{Black}{\vec{a},\vec{b},\vec{c}}\)가 한 평면 위에 있을 필요충분조건은
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0}\)인 것이다.
- 3x3 행렬의 행렬식
\(\textcolor{Black}{\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = a_{1}\begin{vmatrix}{b_{2}} & {b_{3}} \\ {c_{2}} & {c_{3}}\end{vmatrix} - a_{2}\begin{vmatrix}{b_{1}} & {b_{3}} \\ {c_{1}} & {c_{3}}\end{vmatrix} + a_{3}\begin{vmatrix}{b_{1}} & {b_{2}} \\ {c_{1}} & {c_{2}}\end{vmatrix}}\)
- 3차원일 때 벡터가 다음과 같다면, \(\textcolor{Black}{\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)}\)
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)}\)
- 2차원일 때 벡터가 다음과 같다면, \(\textcolor{Black}{\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)}\)
\(\textcolor{Black}{\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_1 - a_1b_2)}\)
- 활용
- 면적 계산
- 방향 판별. 어떤 물체가 바라보는 방향의 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지.
- 선의 충돌 처리.
참고-네이버블로그 내적
참고-네이버블로그 외적
참고-DIYPLAY 내적과 외적