3점을 지나는 원의 방정식

원의 방정식

중심이 $\textcolor{Black}{(x_c,y_c)}$ 이고, 반지름이 R인 원의 방정식은

$$\textcolor{Black}{ R^2 = (x+x_c)^2+(y+y_c)^2 \\ R^2 = x^2+x_c^2 - 2x_cx + y^2 + y_c^2 - 2y_cy \\ 2x_cx + 2y_cy + R^2 - x_c^2 - y_c^2 = x^2+y^2 \\ x^2 + y^2 = 2x_cx + 2y_cy + d (d = R^2-x_c^2-y_c^2) }$$

와 같다.

세 점을 지나는 원의 방정식은 $\textcolor{Black}{(x,y)}$에 세 점을 대입하여 연립하여 계수를 구한다.

이것을 $\textcolor{Black}{(x_c,y_c)}$와 ${d}$에 관한 행렬로 나타낸다면,

$$\textcolor{Black}{ \begin{pmatrix} 2x_1 & 2y_1 & 1 \\ 2x_2 & 2y_2 & 1 \\ 2x_3 & 2y_3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^2 + y_1^2 \\ x_2^2 + y_2^2 \\ x_3^2 + y_3^2 \end{pmatrix} }$$

Cramer’s 법칙에 의해 $\textcolor{Black}{x_c,y_c,d}$ 의 해는 다음 행렬식으로 정의 된다.

$\textcolor{Black}{ x_c = \frac {\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & 2y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & 2y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & 2y_3 & 1 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} 2x_1 & 2y_1 & 1 \\ 2x_2 & 2y_2 & 1 \\ 2x_3 & 2y_3 & 1 \end{vmatrix}} = \frac {\begin{vmatrix} x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2 & y_2-y_1 \\ x_3^2 + y_3^2 -x_1^2 - y_1^2 & y_3 - y_1 \end{vmatrix}} {2\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{vmatrix}} }$ , $\textcolor{Black}{ y_c = \frac {\begin{vmatrix} 2x_1 & x_1^2+y_1^2 & 1 \\ 2x_2 & x_2^2+y_2^2 & 1 \\ 2x_3 & x_3^2+y_3^2 & 1 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} 2x_1 & 2y_1 & 1 \\ 2x_2 & 2y_2 & 1 \\ 2x_3 & 2y_3 & 1 \end{vmatrix}} = \frac {\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2 \\ x_3 - x_1 & x_3^2 + y_3^2 -x_1^2 - y_1^2 \end{vmatrix}} {2\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{vmatrix}} }$

Cramer’s Rules

다음과 같은 식이 있을 때,

$$\textcolor{Black}{ b_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ b_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ ... \\ b_n = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n }$$

다음과 같은 행렬로 나타낼 수 있다.

$$\textcolor{Black}{ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{bmatrix} }$$ $$\textcolor{Black}{n*1 = n*n 정방행렬 n*1}$$ $$\textcolor{Black}{B=AX}$$

${\Delta}$ 은 행렬식 값이고, ${B=AX}$ 일 때, $\textcolor{Black}{ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} \\ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} \\ ...\\ x_n = \frac{\Delta_n}{\Delta} \\ }$

$\textcolor{Black}{\Delta_n}$ 은 제 n열의 값을 B로 바꾼 행렬식값이다.

라플라스 전개

$\textcolor{Black}{ det(A) = \sum_{j=1}^n{a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}M_{ij}} }$

1. 열이나 행을 고정하고
2. 고정한 행이나 열을 바탕으로 행렬식 전개.